Hur många lejon tar det att döda ett lamm? Svaret är inte så enkelt som du kanske tror. Inte åtminstone enligt spelteori.

Spel teori är en gren av matematik som studerar och förutspår beslutsfattande. Det innebär ofta att man skapar hypotetiska scenarier eller "spel", varigenom ett antal individer som heter "spelare" eller "agenter" kan välja från en definierad uppsättning åtgärder enligt en rad regler. Varje åtgärd kommer att ha en "pay-off" och syftet är vanligtvis att hitta den maximala ersättningen för varje spelare för att utreda hur de skulle troligen uppträda.

Denna metod har använts i en mängd olika ämnen, inklusive ekonomi, biologi, politiska och psykologi, och för att hjälpa till att förklara beteende i auktioner, röstning och marknadskonkurrens. Men spelteorin, tack vare sin natur, har också givit upphov till några underhållande hjärnteasers.

En av de mindre kända av dessa pussel handlar om att utarbeta hur spelarna kommer att konkurrera om resurser, i detta fall hungriga lejon och ett gott lamm. En grupp lejon lever på en ö täckt av gräs men utan andra djur. Lionsna är identiska, helt rationella och medvetna om att alla andra är rationella. De är också medvetna om att alla andra lejon är medvetna om att alla andra är rationella och så vidare. Denna ömsesidiga medvetenhet är vad som kallas "Allmän kunskap”. Det säkerställer att inget lejon skulle ta en chans eller försöka slänga ut de andra.

Naturligtvis är lejonen extremt hungriga men de försöker inte slåss varandra eftersom de är identiska i fysisk styrka och så skulle det oundvikligen bli allt dött. Eftersom alla är helt rationella, föredrar varje lejon ett hungrigt liv till en viss död. Med inget alternativ kan de överleva genom att äta en väsentligen obegränsad tillgång till gräs, men de skulle helst föredra att konsumera något köttigare.

En dag visas ett lamm mirakulöst på ön. Vilken olycklig varelse verkar det. Men det har faktiskt en chans att överleva detta helvete, beroende på antalet lejon (representerat av bokstaven N). Om någon lejon konsumerar det försumbara lammet blir det för fullt för att försvara sig från de andra lejonen.

Förutsatt att lejonen inte kan dela är utmaningen att utreda huruvida lammet kommer att överleva beroende på värdet av N. Eller för att uttrycka det på annat sätt, vad är det bästa sättet att göra åt varje lejon - att äta lammet eller inte äta lammet - beroende på hur många andra det finns i gruppen.

Lösningen

Denna typ av spelteoriproblem, där du behöver hitta en lösning för ett generellt värde av N (där N är ett positivt heltal), är ett bra sätt att testa spelteoretikernas logik och visa hur bakåtriktad induktion fungerar. Logisk induktion involverar att använda bevis för att bilda en slutsats som sannolikt är sann. Bakåt induktion är ett sätt att hitta ett väldefinierat svar på ett problem genom att gå tillbaka steg för steg till det mycket grundläggande fallet, vilket kan lösas med ett enkelt logiskt argument.

I lejonspelet skulle det grundläggande fallet vara N = 1. Om det bara fanns en hungrig lejon på ön skulle det inte tveka att äta lammet, eftersom det inte finns några andra lejon att tävla med.

Låt oss nu se vad som händer när det gäller N = 2. Båda lejonen drar slutsatsen att om en av dem äter lammet och blir för full för att försvara sig, skulle det ätas av den andra lejonen. Som ett resultat skulle ingen av de två försöka äta lammet och alla tre djuren skulle leva lyckligt tillsammans tillsammans med att äta gräs på ön (om man bara levde ett liv beroende av rationaliteten hos två hungriga lejon kan man kalla sig lycklig).

För N = 3, om någon av lejonen äter lammet (effektivt blir ett försumligt lamm själv) skulle det minska spelet i samma scenario som för N = 2, där ingen av de återstående lejonen kommer att försöka konsumera nyförsvarslösa lejon. Så lejonet som är närmast det faktiska lammet äter det och tre lejon kvarstår på ön utan att försöka morda varandra.

Och för N = 4, om någon av lejonen äter lammet, skulle det minska spelet till scenariot N = 3, vilket skulle innebära att lejonet som åt lammet skulle hamna att ätas själv. Eftersom ingen av lejonerna vill att det ska hända lämnar de lammet ensamt.

I huvudsak bestäms utfallet av spelet av lejonets närmaste lamm. För varje heltal N, inser lejonet att att äta lammet skulle minska spelet i fallet med N-1. Om N-1-fallet resulterar i lammets överlevnad äter det närmaste lejonet det. Annars låter alla lejonna lammet leva. Så, efter logiken tillbaka till basfallet varje gång kan vi dra slutsatsen att lammet alltid kommer att ätas när N är ett udda tal och kommer att överleva när N är ett jämnt tal.

Om författaren

Amirlan Seksenbayev, doktorand i matematiska vetenskaper, sannolikhet och tillämpningar, Queen Mary University of London

Den här artikeln publicerades ursprungligen den Avlyssningen. Läs ursprungliga artikeln.

relaterade böcker

at InnerSelf Market och Amazon